双线性和结合律
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克罗内克积是张量积的特殊形式，因此满足双线性与结合律：
A
⊗
(
B
+
C
)
=
A
⊗
B
+
A
⊗
C
(if
B
and
C
have the same size)
,
{\displaystyle A\otimes (B+C)=A\otimes B+A\otimes C\qquad {\mbox{(if }}B{\mbox{ and }}C{\mbox{ have the same size)}},}
(
A
+
B
)
⊗
C
=
A
⊗
C
+
B
⊗
C
(if
A
and
B
have the same size)
,
{\displaystyle (A+B)\otimes C=A\otimes C+B\otimes C\qquad {\mbox{(if }}A{\mbox{ and }}B{\mbox{ have the same size)}},}
(
k
A
)
⊗
B
=
A
⊗
(
k
B
)
=
k
(
A
⊗
B
)
,
{\displaystyle (kA)\otimes B=A\otimes (kB)=k(A\otimes B),}
(
A
⊗
B
)
⊗
C
=
A
⊗
(
B
⊗
C
)
,
{\displaystyle (A\otimes B)\otimes C=A\otimes (B\otimes C),}
其中，A, B 和 C 是矩阵，而 k 是常量。
克罗内克积不符合交换律：通常，A ⊗ B 不同于 B ⊗ A。
A ⊗ B和B ⊗ A是排列等价的，也就是说，存在排列矩阵P和Q，使得
A
⊗
B
=
P
(
B
⊗
A
)
Q
.
{\displaystyle A\otimes B=P\,(B\otimes A)\,Q.}
如果A和B是方块矩阵，则A ⊗ B和B ⊗ A甚至是排列相似的，也就是说，我们可以取P = QT。
混合乘积性质
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如果A、B、C和D是四个矩阵，且矩阵乘积AC和BD存在，那么：
(
A
⊗
B
)
(
C
⊗
D
)
=
A
C
⊗
B
D
.
{\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )(\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} )=\mathbf {AC} \otimes \mathbf {BD} .}
这个性质称为“混合乘积性质”，因为它混合了通常的矩阵乘积和克罗内克积。于是可以推出，A
⊗
{\displaystyle \,\otimes \,}
B是可逆的当且仅当A和B是可逆的，其逆矩阵为：
(
A
⊗
B
)
−
1
=
A
−
1
⊗
B
−
1
.
{\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{-1}=\mathbf {A} ^{-1}\otimes \mathbf {B} ^{-1}.}
克罗内克和
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如果A是n × n矩阵，B是m × m矩阵，
I
k
{\displaystyle \mathbf {I} _{k}}
表示k × k单位矩阵，那么我们可以定义克罗内克和
⊕
{\displaystyle \oplus }
为：
A
⊕
B
=
A
⊗
I
m
+
I
n
⊗
B
.
{\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} =\mathbf {A} \otimes \mathbf {I} _{m}+\mathbf {I} _{n}\otimes \mathbf {B} .}
谱
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假设A和B分别是大小为n和q的方块矩阵。设λ1，......，λn为A的特征值，μ1，......，μq为B的特征值。那么A
⊗
{\displaystyle \,\otimes \,}
B的特征值为：
λ
i
μ
j
,
i
=
1
,
…
,
n
,
j
=
1
,
…
,
q
.
{\displaystyle \lambda _{i}\mu _{j},\qquad i=1,\ldots ,n,\,j=1,\ldots ,q.}
于是可以推出，两个矩阵的克罗内克积的迹和行列式为：
tr
(
A
⊗
B
)
=
tr
A
tr
B
and
det
(
A
⊗
B
)
=
(
det
A
)
q
(
det
B
)
n
.
{\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=\operatorname {tr} \mathbf {A} \,\operatorname {tr} \mathbf {B} \quad {\mbox{and}}\quad \det(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=(\det \mathbf {A} )^{q}(\det \mathbf {B} )^{n}.}
奇异值
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如果A和B是长方矩阵，那么我们可以考虑它们的奇异值。假设A有rA个非零的奇异值，它们是：
σ
A
,
i
,
i
=
1
,
…
,
r
A
.
{\displaystyle \sigma _{\mathbf {A} ,i},\qquad i=1,\ldots ,r_{\mathbf {A} }.}
类似地，设B的非零奇异值为：
σ
B
,
i
,
i
=
1
,
…
,
r
B
.
{\displaystyle \sigma _{\mathbf {B} ,i},\qquad i=1,\ldots ,r_{\mathbf {B} }.}
那么克罗内克积A
⊗
{\displaystyle \,\otimes \,}
B有rArB个非零奇异值，它们是：
σ
A
,
i
σ
B
,
j
,
i
=
1
,
…
,
r
A
,
j
=
1
,
…
,
r
B
.
{\displaystyle \sigma _{\mathbf {A} ,i}\sigma _{\mathbf {B} ,j},\qquad i=1,\ldots ,r_{\mathbf {A} },\,j=1,\ldots ,r_{\mathbf {B} }.}
由于一个矩阵的秩等于非零奇异值的数目，因此我们有：
rank
(
A
⊗
B
)
=
rank
A
rank
B
.
{\displaystyle \operatorname {rank} (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=\operatorname {rank} \mathbf {A} \,\operatorname {rank} \mathbf {B} .}
与抽象张量积的关系
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矩阵的克罗内克积对应于线性映射的抽象张量积。特别地，如果向量空间V、W、X和Y分别具有基{v1, ... , vm}、 {w1, ... , wn}、{x1, ... , xd}和{y1, ... , ye}，且矩阵A和B分别在恰当的基中表示线性变换S : V → X和T : W → Y，那么矩阵A ⊗ B表示两个映射的张量积S ⊗ T : V ⊗ W → X ⊗ Y，关于V ⊗ W的基{v1 ⊗ w1, v1 ⊗ w2, ... , v2 ⊗ w1, ... , vm ⊗ wn}和X ⊗ Y的类似基。[1]
与图的乘积的关系
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两个图的邻接矩阵的克罗内克积是它们的张量积图的邻接矩阵。两个图的邻接矩阵的克罗内克和，则是它们的笛卡儿积图的邻接矩阵。参见[2]第96个练习的答案。
转置
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克罗内克积转置运算符合分配律：
(
A
⊗
B
)
T
=
A
T
⊗
B
T
.
{\displaystyle (A\otimes B)^{T}=A^{T}\otimes B^{T}.}